Integración analítica de la matriz de conductividad térmica del elemento finito isoparamétrico de cuatro nodos

Abstract

El análisis matricial de medios continuos tiene hoy una aplicación más generalizada, como consecuencia del desarrollo computacional, optimizando así los métodos y técnicas utilizadas. Esto conduce a aplicar estos nuevos desarrollos a los problemas de transferencia de calor en conducción. El objetivo de este trabajo es presentar la integración analítica de los términos de la matriz de transferencia de calor, utilizando un elemento finito cuadrilátero Isoparamétrico de 4 nodos para el estudio del fenómeno de conductividad térmica. Los términos obtenidos por integración analítica se compararon con los términos obtenidos por integración numérica tradicional (Cuadratura Gauss-Legendre), logrando demostrar las ganancias en los tiempos de ejecución computacional así como el aumento de la precisión de los resultados en elementos de geometría distorsionada. Para lograr este objetivo se utilizaron técnicas de matemática simbólica, facilitando así la integración analítica de cada término. Los términos de la matriz para el fenómeno de conductividad térmica se agruparon en constantes, quedando expresiones algebraicas más sencillas en función de las variables naturales (,) y estas expresiones contienen a su vez las constantes (x, y), referentes a la geometría del problema en estudio, y adicionalmente considera el efecto combinado de conducción y convección, k y h. De esta manera se encontraron 4 ecuaciones que calculan todos los términos de la matriz. Mediante el uso de la metodología descrita, se logran obtener ganancias en tiempo de ejecución computacional del orden del 80% y respecto a la precisión se logra demostrar que la solución numérica aproximada se aleja de la analítica cerrada en el orden del 73%.