Diferencias finitas compactas en mallas nodales y centro distribuidas aplicadas a la simulación de ondas acústicas

Abstract

Resumen En este trabajo, se formulan, implementan y comparan dos esquemas en diferencias fi nitas compactas (DFC) para modelar la propagación de ondas acústicas bajo condiciones de borde tipo Dirichlet en mallas 2-D rectangulares. El más novedoso de estos esquemas utiliza los operadores DFC formulados por Aboulai y Castillo [1] en mallas centro distribuidas. Estos operadores resultan de factorizar los operadores en DF triparamétricos de gradiente y divergencia miméticos de cuarto orden de precisión,como el producto de sus homólogos de segundo orden y nuevos operadores auxiliares dependientes en los parámetros miméticos. En esta descomposición, los esténciles en DF resultantes son de menor tamaño que en el caso triparamétrico original y de allí se deriva su cali ficativo compacto. El segundo esquema utiliza los operadores en DFC sobre mallas nodales estudiados por Lele [38], y que requieren resolver un sistema lineal en banda para la diferenciación implícita en cada línea coordenada de la malla. En este caso, la precisión se limita a cuarto orden y los sistemas lineales resultan tridiagonales, cuya resolución vía el algoritmo de Thomas es de bajo costo computacional. La integración temporal es común a ambos esquemas y se formula a partir del método de Crank-Nicolson utilizando una implementación computacional efi ciente basada en el algoritmo de Peaceman-Rachford de dirección implícita alternada. Se presenta un análisis formal de estabilidad basado en el método de Von Neumann y por tanto enfocado en la discretización en los puntos interiores de la malla. Igualmente, se analiza la complejidad algorítmica de estos esquemas en cuanto al número de operaciones aritméticas en mallas de igual resolución. Estos análisis muestran que ambos esquemas son incondicionalmente estables respecto al parámetro CFL y además presentan igual complejidad operacional. La fase de experimentación numérica considera problemas de diferente complejidad y que demandan una resolución precisa de las condiciones de frontera. En problemas sencillos con solución exacta armónica, la precisión y tasas de convergencia del esquema centro distribuido son ligeramente superiores. Sin embargo, las mismas decaen en problemas severos de capa límite y resultan inferiores a las mostradas por el esquema nodal. Como referencia comparativa fi nal, también se implementa un esquema con diferenciación mimética centro distribuida y basado en la integración temporal explícita de Leap-frog. Para este esquema, las contribuciones de este trabajo son una parametrización mimética óptima que induce un mayor límite de estabilidad CFL, además de ciertas comparaciones en precisión y convergencia respecto a los esquemas DFC mencionados. Palabras Claves: modelo matemático, complejidad algorítmica, operadores miméticos