Demostración elemental del teorema de convergencia acotada de Arzelá

Abstract

Resumen El siglo XIX trajo de la mano una notable evolución en la teoría de integración. La definición de Riemann de la integral definida dió origen a un importante número de estudios en ánalisis. Uno de los resultados más sobresalientes en este contexto es atribuido al matemático Cesare Arzelá (1885) al hacer referencia al teorema de convergencia acotada también conocido como teorema de Arzelá, el cual marcó el inicio de un mejor entendimiento de las propiedades de continuidad de la integral de Riemann como una función de su integrando. Las primeras demostraciones del teorema de convergencia acotada ofrecidas por Arzelá y Hausdorff fueron largas y complicadas. Dada la importancia de este resultado otros matemáticos han abordado dicho teorema demostrándolo con técnicas que varían desde teoría de conjuntos hasta análisis funcional. El presente escrito pretende hacer una breve revisión del teorema de Arzelá, teniendo como objeto central el estudio de varias publicaciones que ofrecen pruebas del teorema en un contexto de integración Riemann haciendo uso exclusivo de herramientas elementales de análisis matemático. Así mismo,indagaremos el contexto histórico que lo hace un resultado importante y finalmente se vincula dichas demostraciones en un contexto de teoría de la medida. Palabras Clave: Sucesión de funciones, sucesión uniformemente acotada, convergencia puntual, convergencia uniforme, integral de Riemann, integral de Lebesgue, medida.