Cálculo de la matriz de rigidez en forma analítica de un elemento finito isoparamétrico de cuatro nodos de elasticidad plana

Abstract

Los sistemas de álgebra computacional (SAC) son utilizados para optimizar el cálculo de matrices de rigidez de elementos finitos a través de técnicas de integración analítica y semi-analítica que permiten disminuir los tiempos de ejecución computacional. En esta investigación se realizó el cálculo de la matriz de rigidez del elemento finito cuadrilátero isoparamétrico de cuatro nodos a través de la técnica de integración analítica desarrollada por Videla et al (2005). Se integraron cuatro casos en los que fue clasificado el elemento finito estudiado, en los cuales varía la geometría del elemento y el jacobiano de la transformación, haciendo más eficiente el cálculo en los casos donde la geometría es más simple. De los casos estudiados se obtuvieron cuatro expresiones de integración analítica para el cálculo de la matriz de rigidez de éste elemento finito. Las expresiones se simplificaron y se codificaron como una subrutina en un lenguaje de alto nivel (Fortran 95), separando cada uno de los casos. Dentro del proceso de optimización se estudiaron y analizaron 216 constantes necesarias para el cálculo y se logró simplificarlas y optimizarlas. También se particularizó el cálculo del elemento cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados y se obtuvo una disminución importante de tiempo de ejecución. Luego de un largo estudio se encontró una forma de calcular los valores mínimos tolerables de las constantes del jacobiano. Esto es necesario en la técnica de integración analítica para realizar la selección del caso en aquellos elementos cercanos a la frontera entre un caso y otro, y lograr evitar errores. Se realizó un programa compuesto por la rutina analítica desarrollada en este trabajo y la rutina semi-analítica desarrollada por Griffiths (1994); con la finalidad de comparar tiempos de ejecución computacional y precisión en el cálculo. De los resultados, se concluye que la rutina analítica de este trabajo es mucho más eficiente en tiempo que la semi-analítica, y que la rutina de integración numérica utilizada clásicamente. Además, se comprueba la precisión que la integración analítica proporciona en los casos de geometría distorsionada, donde las rutinas semi-analítica y numérica, basadas en la integración numérica de Gauss Legendre, cometen errores.