Fragmentos decidibles e indecidibles en la Lógica de primer orden

Resumen

El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de  la teoría de modelos contemporánea; (2)  Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden_, ofreciendo una prueba original del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera:  ∀x₁,…,∀x_n∃y₁,…,∃y_m φ(x₁,…,x_n,y₁,…,y_m); (3)  Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936).

Abstract

The present paper has three objectives: (1) Presenting an actualization of a proof of the decidability of monadic predicates logic in the contemporary model theory context; (2) Show examples of decidable and undecidable fragments inside First order logic, offering an original proof of the following theorem: Any formula of First of order logic is decidable if its prenex normal form is in the following form: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ymφ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presenting a theorem that characterizes the validity of First order logic by the tautologicity of Propositional logic, said result is interesting since immediately arises the doubt of how to conciliate said characterization with Alonzo Church’s Undecidability Theorem for First Order Logic (1936).