Definiendo la integral de Riemann sin utilizar sumas de Riemann

Abstract

El problema de calcular el área de una figura plana o el volumen de un sólido, está íntimamente ligado al Cálculo Integral y se remonta a la antigüedad. El papiro de Moscú, encontrado en Egipto y fechado alrededor del año 1800 A.C., muestra que ya para entonces se conocía una fórmula para hallar el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhaución creado por Eudoxo (Cnido, actual Turquía, 390 A. C. - 337 A. C.), que trataba de encontrar aéreas y volúmenes partiendo la figura en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes (Siracusa, 287 A. C. - 212 A. C.), que lo empleó para calcular aéreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático hindú Bhaskara II (India, 1114-1185)), se encuentran algunas ideas de cálculo integral.